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Tutoriel afin de s’approprier comment il est possible de résoudre un problème d’optimisation dans GéoGebra.
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Programmation linéaire 1 (polygones de contraintes)
mercredi 28 avril 2010
par Pierres
popularité : 90%

GéoGebra ne permet pas de résoudre des systèmes d’inéquations. Par contre, il est possible de réaliser cette tâche malgré tout.

Nous allons démarrer avec les contraintes suivantes :

  • x  \geqslant 0
  • y  \geqslant 0
  • 10x + 20y \leqslant 140
  • 0.6x + 0.8y \leqslant 7.2

Il faut maximiser la fonction : V = 0.4x + 0.6y

1. Première étape

Nous avons deux conditions particulières pour débuter :

  • x  \geqslant 0
  • y  \geqslant 0

Donc, on peut utiliser l’outil Déplacer Graphique afin de faire afficher le premier quadrant car avec ces deux conditions de démarrage, on peut conclure que la solution se situera dans le premier quadrant. Donc, déplacez l’espace graphique afin que l’origine se retrouve en bas à gauche.

De plus, avec le bouton de droite de la souris, cliquez dans le plan et activé la grille.

2. Deuxième étape

Nous allons travailler l’inéquation suivante :

  • 10x + 20y \leqslant 140

GéoGebra ne pouvant nous permettre directement la saisie d’inéquations dans la zone de saisie, nous allons inscrire cette inéquation sous forme d’équation afin de faire tracer la droite.

Donc, dans la zone de saisie, inscrivez l’équation : 10x + 20y = 140.
Appuyez sur « Entrée ». Vous aurez ceci à l’écran. Il est possible que vous ayez à ajuster l’affichage afin de voir le résultat de l’affichage de la droite correctement. Vous pouvez réaliser le tout avec la molette de votre souris. Déplacez le tout afin de replacer votre origine en bas à gauche de la zone graphique.

Utilisez l’outil Intersection entre deux objets afin de placer un point à l’intersection de votre droite avec l’axe des abscisses (x) et avec l’axe des ordonnées (y). Afin de fixer l’intersection, vous cliquez sur la droite et par la suite vous cliquez sur l’axe des y. Refaites la même démarche pour l’intersection à l’axe des x.

Modifiez la couleur de votre droite en rouge et mettre l’épaisseur à 3. Vous accédez aux Propriétés de la droite en cliquant le bouton droit de votre souris sur la droite. (Onglet Couleur et Style dans la fenêtre des propriétés)

Nous allons déterminer maintenant une zone ombragée (polygone). Nous allons utiliser un point n’appartenant pas à la droite (le point (0,0) par exemple) dans notre inéquation afin de déterminer le polygone à tracer. Nous allons substituer ces valeurs dans notre inéquation.

10x + 20y \leqslant 140

10*0 + 20*0 \leqslant 140

0 \leqslant 140 -> Vrai !

De plus, nous savons que nous devons avoir x  \geqslant 0 et y  \geqslant 0. Nous allons fixer un point à l’origine (0,0). Voici ce que vous aurez : (utilisez l’outil Polygone )

3. Troisième étape

Passons à la dernière inéquation : 0.6x + 0.8y \leqslant 7.2

Vous allez procéder comme à la deuxième étape. Saisissez l’inéquation comme une équation dans la zone de saisie (0.6x + 0.8y=7.2). La droite se tracera (mettre celle-ci en bleu). Refaites le test avec un point n’appartenant pas à cette droite (le point origine (0,0)) en substituant ces valeurs dans l’inéquation.

0.6x + 0.8y \leqslant 7.2

0.6*0 + 0.8*0 \leqslant 7.2

0 \leqslant 7.2 -> Vrai !

Ceci va nous permettre de tracer une autre zone ombragée (polygone) pour cette inéquation en utilisant un point n’appartenant pas à la droite (le point (0,0) par exemple). Vous aurez ceci dans votre espace graphique :

4. Quatrième étape

Nos zones ombragées forment un quadrilatère. Fixez un point à l’intersection des deux droites des équations. Vous avez le quadrilatère AEDO dans la figure ci-dessous.

Nous avons en réalité 3 points (A, E et D) à vérifier afin de maximiser notre fonction :

V = 0.4x + 0.6y

Nous allons utiliser GéoGebra pour effectuer ces calculs. Nous allons définir :

  • VA -> fonction à optimiser avec les coordonnées de A
  • VE -> fonction à optimiser avec les coordonnées de E
  • VD -> fonction à optimiser avec les coordonnées de D

Nous allons utiliser un outil de GéoGebra nous permettant d’obtenir les coordonnées d’un point.

  • x(Point) ->retourne la coordonnée de l’abscisse (x) d’un point
  • y(Point) ->retourne la coordonnée de l’ordonnée (y) d’un point

Dans la zone de saisie, inscrivez : VA=0.4*x(A) + 0.6*y(A) et faites « Entrée » afin de valider votre saisie. Dans la zone algèbre, vous verrez apparaître VA=4.2.

Pour le point E, vous aurez VE=0.4*x(E) + 0.6*y(E). La valeur apparaissant pour VE est 5.

Pour le point D, vous aurez VD=0.4*x(D) + 0.6*y(D). La valeur apparaissant pour VD est 4.8.

Donc, avec les contraintes de départ que nous avions :

  • x  \geqslant 0
  • y  \geqslant 0
  • 10x + 20y \leqslant 140
  • 0.6x + 0.8y \leqslant 7.2

l’optimisation de la fonction V = 0.4x + 0.6y sera les coordonnées de E, soit : x=8 et y=3.

 

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